Lecture 2 | Red Black Tree & B+ Tree¶

约 4971 个字预计阅读时间 25 分钟

说明

而为了提高笔记整理效率，可能会考虑用更多的引用和更简单的语言。如果您觉得有哪里说的不够清楚，请直接在评论区狠狠 blame 我！

红黑树¶

link

OI Wiki: https://oi-wiki.org/ds/rbtree/

Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Red%E2%80%93black_tree

概念¶

顾名思义，红黑树(Red Black Tree)就是一种节点分类为红黑两色的，比较平衡的二叉搜索树。只不过不同于 AVL 树，红黑树的“平衡”性质是通过黑高(black height)来定义的。接下来依次给出红黑树的定义和黑高的定义。

Red Black Tree

红黑树是满足如下性质的一种二叉搜索树：

Properties of RBTree

\@cy's PPT

Every node is either red or black.
The root is black.
Every leaf (NIL) is black.
if a node is red, then both its children are black.
For each node, all simple paths from the node to descendant leaves contain the same number of black nodes.

ch 老师说，希望我们能把这五条性质熟练记住，~~怎么可能（逃）~~。

说明

由于这里的“叶子结点”被重新定义了，为了描述方便，我现在称所有两个子结点都是 NIL 的结点为末端结点（也就是通俗意义上的叶子结点）。而这个定义只是我自己说说的！

\@Wiki

Every node is either red or black.
All NIL nodes (figure above) are considered black.
A red node does not have a red child.
Every path from a given node to any of its descendant NIL nodes goes through the same number of black nodes.

\@OI Wiki

每一个节点要么是红色，要么是黑色；
NIL 节点（空叶子节点）为黑色；
红色节点的子节点必须为黑色；
从根节点到 NIL 节点的每条路径上的黑色节点数量相同；

black height, bh

特定节点的黑高，等于该节点到叶结点到简单路径中（不包括自身），黑色节点的数量。

接下来为了加深理解，有一些辨析可以做：

T1T2

题面答案

下图的红黑树是否合法？

不合法。

16 号节点的右儿子是一个黑叶子，而这个叶子到根的路径上只有 3 个黑节点，而其他叶子到根都有 4 个黑节点。

所以我们需要警惕只有一个非叶儿子的红色节点。

题面答案

下图的红黑树是否合法？

合法。

根据 T1 的解析，我们得到这样一个结论：

合法红黑树不存在只有一个非叶子节点的红色节点！

or

合法红黑树的红色节点的两个子节点一定都是叶子或都不是叶子！

此外，关于红黑树的高，我们有如下性质：

property about height of RBTree

一个有 \(N\) 个内部节点（不包括叶子结点）的红黑树，其高度最大为 \(2\log_2 (N+1)\)。

the proof of the property

关于黑高和点数的关系。

首先我们有 \(N \geq 2^{bh}-1\)，也就是 \(bh \leq \log_2 (N+1)\)；
然后显然有 \(2 bh(Tree) >= h(Tree)\)

操作¶

提醒

我们这里介绍的都是 bottom-up 的思路，不同于 AVL 树，红黑树是存在 top-down 的操作方法的，而这也是红黑树一个非常强大的优势，存在 top-down 的处理方法意味着我们可以进行更快的并行操作。但是我们不在这里详细展开。

同 AVL 树的调整操作类似，红黑树的调整操作也是左右对称的，所以我们也仍然只讨论一侧。

插入¶

我们知道，对黑高有贡献的只有黑色节点，因此 NIL 节点被一个红色节点置换并不会改变一颗红黑树的黑高，因为红色节点还会有一层 NIL 子节点；然而对于红色节点，却有着红色结点互不相邻的限制。

因此，“插入”操作的主要思路就是，先将整个红黑树当作一个普通的二叉搜索树，将目标数据插入到树的末端（也就是置换一个 NIL 节点），并将它染为红色，再调整使之在保证黑高不变的情况下，满足红色节点不能相邻的要求。

现在，我们记这个被插入的节点为 x，任意一个节点 node 的家长节点为 node.p，则：

如果 x.p 是黑色的，那么我们不需要做任何调整；
如果 x.p 是红色的，那么我们需要进行调整；
- 此时因为原来的树符合红黑性质，x.p.p 必定存在（红 x.p 不能是根）且必定是黑色的；

根据这些讨论，我们就能列举出来一个红色的点被插入后，在 2. 的情况下所有的初始情况，即下面第一张图。

由于红黑树的操作中，有一部分需要进行递归转移，而其中中间步骤出现了很多同构的结构，所以为了简化说明，我们对其进行统一，所有情况都被归纳为上面第二张图。

而第二张图中提到的橙色结点，也就是标为“被插入的红色节点”的结点，实际过程中并不一定指的是被「插入」的那个点，也可能是在 case 1 向上递归时，简化的原来那颗子树。换句话来说，这里的“被插入的红色节点及其子树”，实际上可能是指「导致红黑性质被破坏的红根子树」。

接下来我们来讨论各种情况要怎么处理。

说明

这里 case 1 ~ case 3 的编号主要是为了和课程 ppt 对标，但是接下来你会发现我是按照 case 3 -> case 1 来介绍操作的，这是因为我觉得这样安排更合理，而非排版混乱。

Insertion / case 3

对于 case 3，我们高兴地发现，这样的一次染色和一次旋转刚好能让这棵子树完成调整！

Insertion / case 2

对于 case 2，我们可以直接进行一个 Rotation 操作将它转化为 case 3。

但是实际上，细心的小朋友已经发现了，从 case 2 -> case 3 -> done 的过程实际上就是一个 LR Rotation！

Insertion / case 1

对于 case 1，图中的两种情况是等价的。所以我们只展示其中一种。

我们只需要将图中的根节点染红，将根的两个子节点染黑，类似于将黑节点“下放”。

通过第一步操作，我们可以保证这整个子树必定平衡、不影响家长节点的黑高（除了家长是根的情况）且红点不邻的。

然而我们并不知道这个根的家长节点是否是红色节点，因此做分类讨论。倘若其根的家长节点是红色节点，那么我们还需要向上递归，继续调整，根据实际情况转化为其他 case；若这子树的根没有家长节点，则直接染黑红根即可；而倘若子树根节点的家长节点是黑节点，那么我们就调整完毕了。

在这三个过程中，我们观察到，只有 case 1 的转化会导致我们递归向上，而 case 2 向 case 3 的转化并不会导致我们改变关注的子树的范围。

为了更清晰地看出各个方法之间的转化关系，于是我们可以画一个状态机：

graph LR;
A["case 1"]
B["case 2"]
C["case 3"]
D(["finish"])

A ===>|"C"| B --->|"R"| C
A ===>|"C"| A --->|"C"| D
A ===>|"C"| C --->|"C&R"| D

注意，状态机中的粗线表示转换过程中，我们关注的“子树”向上攀升了一级；而细线表示我们关注的子树仍然是这一层的那一棵。以及，C 表示染色操作，R 表示旋转操作。

其中，任何一个情况都可以作为一个初始情况。所以可以数出，到达 finish 的路径中，最多出现 2 次 Rotation（case 2 -> case 3 -> finish）。

删除¶

关于删除操作，下面这个视频讲的很清晰！只不过 case 1 可能还有些细节需要注意。

👉 红黑树快速入门 - 04删除

要删除某个节点 x，我们首先要找到它，在 BST 中找到某个 x 的开销为 \(O(\log N)\)。接下来我们要删除这个任意位置的节点，这势必让红黑树的结构发生变化。此外，红黑性质的维护也是一个让人头疼的问题，因此，我们对这些情况做分类讨论：

没有非`NIL`子节点	有一个非`NIL`子节点	有两个非`NIL`子节点
直接用`NIL`替代	直接删除，用子节点替代它	将值与左子树最大值或右子树最小值交换，颜色不换，然后删除目标点

其中，每一项操作都会导致一个点的消失（毕竟是删除），而如果消失的是红色节点，那么将不会影响黑高；而如果消失的是黑色节点，那么将会导致黑高减少一，此时我们需要做进一步操作。

TODO: 这里需要配图讲清楚节点的具体变换到底是怎么样的，尤其是节点颜色变化到底是怎么一回事，之后大概需要重写

说明

虽然我想尽可能拟合 cy 的 ppt，但是我第一遍实在没看懂，所以 case 的编号我就按照上面那个视频来了。

这是 case 序号的对应关系：

my	cy's		my	cy's
case 1	case 2		case 2	case 4
case 3	case 3		case 4	case 1

我们根据情况，将情况分为四种：

需要做一下简单说明，类比我们在#插入，在删除过程中也存在需要向上递归的情况。与「被插入的红色节点」类似的，我们这里的「需要被删除的目标点」，也应当被看作「导致调整出现的子树」，更进一步的，可以定义成「由于删除了某个结点，黑高 -1 的子树」，请记住这个定义，这会让之后的递归操作变得自然。

何时删除那个结点？

虽然我们对「需要被删除的目标点」进行了递归的扩展定义，但是在第一层我们就可以直接将它删掉了。而这个点被删除造成的影响，已经由「由于删除结点，黑高 -1 的子树」继承了。

在之后的配图中，我们都不会展示 x 是如何被删掉的，而是在结果图中保留 x。如果说 x 就是我们一开始要删除的那个点，那么我们应当删掉 x，直接换成 NIL；如果 x 是在传递过程中，表示「黑高 -1 的子树」的根，那么不用做额外处理。

类似于我们在「Insertion / case 3」里提到的“下放”黑节点，删除操作的思路基本上是“上放”黑节点，或者说“吸纳”黑节点。这个“吸纳”的行为，指的是一个黑点，原来只为右子树中的所有路径提供了黑高，现在由于它的 sibling 子树中少了一个黑色节点，我们将这个黑色节点转移到它们的家长节点节点，于是这个节点同时为左右子树的所有路径都贡献了黑高。

接下来我们逐个分析变化：

Deletion / case 1

虽然大部分教程都把 case 1 当作一个 case，但是我觉得完全可以把它按照 a 节点的红黑，分为两种情况。

Deletion / case 1.1

当 a 为红根时，由于 x 贡献了（相对于原红黑树）-1 的黑高，为了保证整个子树贡献的黑高不变，我们考虑把 w 的黑高“上放”到 a 上，也就是从下面“吸纳”上来。

Deletion / case 1.2

当 a 为黑根时，我们没有空余的位置来“吸纳” w 的黑高，但是左子树和右子树的不平衡是必须解决的，而我们绝不能寄希望于“在不知道有没有红色节点的 b 和 c 的子树中去寻找红色节点”这个想法。

所以我们可以仿照「Insertion / case 3」，将整个树标记为灰色——「由于删除结点，黑高 -1 的子树」，然后进一步根据其家长节点的情况递归到其他 case。其中，当我们递归到 a 是整个树的根时可以退出，因为这相当于整个树的黑高 -1，不影响红黑性质。

Deletion / case 2

画不动图了，先语言描述一下。

将 w 染为 a 的颜色，再将 a 和 c 染成黑色；
将 a 左旋，使 w 成为这个子树新的根，a 成为 w 的左儿子，b 成为 a 的右儿子；
调整结束；

Deletion / case 3

画不动图了，先语言描述一下。

交换 b 和 w 的颜色；
将 w 右旋，使 b 成为 a 的右儿子，w 成为 b 的右儿子，b 的右儿子成为 w 的左儿子；
此时情况转化为 case 2；

Deletion / case 4

画不动图了，先语言描述一下。

交换 a 和 w 的颜色；
将 a 左旋，使 w 成为这个子树新的根，a 成为 w 的左儿子，b 成为 a 的右儿子；
此时根据子树 a 的情况，转化为 case 1.1 / case 2 / case 3；

区分 case 1.1 和 case 1.2不区分 case 1.1 和 case 1.2

graph LR;
A1["case 1.1"]
A2["case 1.2"]
B["case 2"]
C["case 3"]
D["case 4"]
E["finish"]

A1 --->|"C"| E
A2 ===>|"C"| A1
A2 ===>|"C"| A2
A2 ===>|"C"| B
A2 ===>|"C"| C
A2 ===>|"C"| D
C --->|"C&R"| B --->|"C&R"| E
D ===>|"C&R"| A1
D ===>|"C&R"| B
D ===>|"C&R"| C

graph LR;
A["case 1"]
B["case 2"]
C["case 3"]
D["case 4"]
E["finish"]

A --->|"C\nfrom case 1.1"| E
A ===>|"C\nfrom case 1.2"| A
A ===>|"C\nfrom case 1.2"| B
A ===>|"C\nfrom case 1.2"| C
A ===>|"C\nfrom case 1.2"| D
C --->|"C&R"| B --->|"C&R"| E
D ===>|"C&R\nto case 1.1 "| A
D ===>|"C&R"| B
D ===>|"C&R"| C

注意，状态机中的粗线表示转换过程中，我们关注的“子树”向上或向下转移了一级（由 case 4 出发时下降，由 case 1.2 出发时上升）；而细线表示我们关注的子树仍然是这一层的那一棵。以及，C 表示染色操作，R 表示旋转操作。

其中，任何一个情况都可以作为一个初始情况。所以可以数出，到达 finish 的路径中，最多出现 3 次 Rotation（case 4 -> case 3 -> case 2 -> finish）。

根据前面状态机的相关内容，我们不难得到这张表格，它统计的是 Rotation 在不同数据结构、不同操作中出现的数量：

Option	AVL Tree	RB Tree
Insertion	\(\leq 2\)	\(\leq 2\)
Deletion	\(O(\log N)\)	\(\leq 3\)

B+ Tree¶

link

OI Wiki: https://oi-wiki.org/ds/bplus-tree/

Wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/B%2B_tree

概念¶

B+ 树是一种用树状形式维护有序数列比较信息的数据结构，其增改操作拥相对于二叉树结构更加稳定的对数时间复杂度，通常用于数据库和操作系统的文件系统中。

B+ Tree

如下图就是一颗 \(M=4\) 的 B+ 树，可以对照着这个例子来理解性质。

更一般地来说，B+ 树满足如下性质：

property of B+ Tree

\@cy's PPT

The root is either a leaf or has between \(2\) and \(M\) children.
All nonleaf nodes (except the root) have between \(\lceil M/2 \rceil\) and M children.
All leaves are at the same depth.

Assume each nonroot leaf also has between \(\lceil M/2 \rceil\) and \(M\) children.

所有真实的数据都被存储在叶子结点中，形成一个有序的数列。而非叶子结点中第 i 个键值等于其第 i+1 棵子树的最小值（在上图中表现为颜色相同的一对上下结点），因此非叶结点最多存 \(M-1\) 个值。

发现

于是我们发现这样一个性质：在存储数值不重复的情况下，非叶结点存储的键值都不相同。

证明很简单，对于任意一个非叶子结点，它存储的值必定不会被它的子节点存储（如果它的子节点不是叶子），因为它存的是它的子节点的第一个子树的最小值，而它的子节点存的是第二个子树开始的最小值。

我们称这样的树为一个 \(M\) 阶(order) B+ 树。对于常见的 \(M\)，比如一棵 \(4\) 阶 B+ 树，我们也称之为一棵 2-3-4 树，一般 \(M\) 的选择为 3 或 4。

特别说明，对于 B+ 树，将它的叶子结点拼接起来，实际上就是一个有序数列。

抽象地来说就是，我们把一个数列相对均匀的分为 \(m\) 块，然后把分界的数拿出来。当我们去查找或插入时，只需要和这些边界数进行比较，就知道它应该放在哪一块里。再不断细化粒度，用类似于“\(m\) 分”的思想来找到目标位置。

在我看来这个定义非常清晰，就是将整个序列按照不同粒度划分，然后由大到小进行逼近。

depth of B+ Tree

由于它在空间最浪费的情况下是一棵 \(\lceil M/2 \rceil\) 叉树，所以 B+ 树的深度是 \(O(\lceil \log_{\lceil M/2 \rceil} N \rceil)\)。

操作¶

由于 B+ 树的性质十分自然，所以它的操作从思想层面上来说也非常简单。其更多的难度在于实现上。

关于实现的建议

由于 B+ 树关于内部节点和叶子的定义十分割裂（虽然红黑树叶也很割裂，但是毕竟红黑树的叶子不需要什么操作，但是 B+ 树需要），所以在实现过程中会遇到一些麻烦。

我个人建议，如果你十分熟悉 oop，那么可以尝试用多态来解决这个问题。反正我实现 B+ 树的时候对 cpp 的 oop 我说不上十分熟练，所以我直接无脑使用 struct with tag 实现了。

而在开始写代码之前，我强烈建议大家按照我下面做图的格式，模拟一遍各个操作！并在模拟过程中，观察数据的流动以及节点的结构变化。

此外，在讨论这些操作时，先让我们忽略如何从空建立起一个 B+ 树。

查找¶

和二叉树的查找十分相似，所以这里只模拟一下举个例子。

例如，我们在上面这棵树中找 43 这个值，橙色部分表示我们的焦点。

Find(43)

Frame 1Frame 2Frame 3

我们发现有 \(21 \leq 43 < 48\)，所以顺着标识的橙色指针向下。

我们发现有 \(41 \leq 43\)，所以顺着标识的橙色指针向下。

已经走到叶子结点，最后发现我们要找的 43。

插入¶

插入的方法也相对朴素简单，就是找到该插入的地方以后插入即可。

只不过需要注意一件事，当这个插入，导致了 B+ 树的性质不再成立时，即导致其家长节点的子节点数量为 \(M+1\) 时，我们需要将这个结点平均分裂成两个，此时显然有两个子树的节点数量都不小于 \(\lceil M+1 \rceil\)。但这还不够，分裂导致家长节点的家长节点的子节点变多，所以我们还得向上递归。

依然是进行一个模拟，我们模拟插入 46 和 44。

Insert(46), no split

Frame 1Frame 2Frame 3