Lecture 9 | Greedy Algorithms¶
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果然越来越宽泛了
概念¶
贪心算法(Greedy Algorithms)是一种在求解优化问题时采用的策略，它在每个决策阶段都选择当前看起来最优的解决方案，从而希望能够达到全局最优解。贪心算法的核心思想是局部最优选择，通过一系列局部最优的选择，来达到全局最优的目标。贪心算法易于实现，但并不总是能够得到全局最优解，因此在使用贪心算法时需要分析问题的特性以确保其适用性。
——ChatGPT
贪心思想和它的名字一样简单暴力，就是在每一个步骤中都采取局部最优解，最终求得最优解。但是显然这个方法并不总能“最终求得最优解”。因此虽然这个方法看起来直接暴力，但是如何找到用「贪心」解决问题的路径，往往是需要动动脑子的。
和 dp 一样，贪心是一个比较思想性质的东西，所以我们需要借助许多案例来进行分析。
[案例] Activity Selection Problem¶
在课件上，活动选择问题(Activity Selection Problem)的陈述如下：
Activity Selection Problem
Given a set of activities \(S = { a_1, a_2, ..., a_n }\) that wish to use a resource (e.g. a classroom). Each \(a_i\) takes place during a time interval \([s_i, f_i)\).
Activities \(a_i\) and \(a_j\) are compatible if \(s_i \geq f_j\) or \(s_j \geq f_i\) (i.e. their time intervals do not overlap).
Goal: Select a maximum-size subset of mutually compatible activities.
- Assume \(f_1\geq f_2 \geq ... \geq f_n\).
抽象来说就是一个一维的密铺问题。给定时间线上的若干区间 \([s_i, f_i)\)，求出最多能不重叠地在这个时间线上放置多少个区间。题目额外保证了输入数据是根据 \(f_i\) 有序的，不过这不是很重要。
bad try 1
一个非常 naive 的想法就是，哪门课先开始我先选哪门课，这个想法非常的节省脑细胞，但是显然不对。我随随便便来个最早开始最晚结束的课，就能直接 hack 掉这个方法。
bad try 2
再来一个天真的想法，我每次都选区间长度最少的，虽然看起来能让它“相对比较多”，但是显然也无法保证结果的最优性，也非常好 hack。
search
而另外一个暴力的想法就是，我去枚举每一种可能，也就是我们俗称的暴搜，还可以用上剪枝等操作，虽然可以，但是太不优雅了，而且时间复杂度未必是我们能接受的。
dp
既然暴搜不行，那试试 dp 呢？在这个问题中，我们可以写出如下转移方程：
其中，\(dp_i\) 表示到第 \(i\) 个区间截止的时间为止，最多有多少个项目可以被安排；\(f(i)\) 是最大的满足 \(f_j \leq s_i\) 的区间的编号 \(j\)，也就是能够不重叠放下的，最晚的那个活动。
我们发现，这么做是可以的。只不过这样做的话，其时间复杂度为 \(O(N^2)\)。
greedy
显然，这个案例放在这个地方肯定是有贪心解的。而且题目的 “Assume” 提示性已经很强了。我们只需要按照结束时间，遍历这些区间，能塞下就塞，即可 \(O(N)\) 贪心求解。
TODO: