Lecture 11 | Approximation¶

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近似算法¶

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Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Approximation_algorithm

在上一章中我们介绍了 P/NP 问题，而大家普遍认为 P ≠ NP，这就意味着对于某些问题，我们无法使用多项式时间解决，而在问题规模变大时，越发不可接受。

因此，我们考虑能否退而求其次，在多项式时间内求一个比较优的解。更具体的来说，我们尝试寻找一种多项式算法，使得其结果始终在关于准确解的可接受偏差范围内，对于这种算法，我们称之为近似算法(approximation algorithm)。

我们设 $f(n, x)$ 是对输入大小为 $n$ 的情况下，对结果 $x$ 的最坏情况的一个直观量化（例如 dist, weight...），若设 $x^*$ 为准确解，$x$ 为给定算法结果，则我们定义近似比(Approximation Ratio)$\rho$：

\[ \forall n \rho = \max\left\{\frac{f(n, x)}{f(n, x^*)}, \frac{f(n, x^*)}{f(n, x)}\right\} \]

则称给定算法为 $\rho$ 近似算法($\rho$-approximation algorithm)。

近似算法 v.s. 随机算法

在看到近似算法时，我脑子里一下子浮现出了随机算法的概念，同样是求准确解的近似解，两者有何区别呢？

hint: 最坏情况

近似算法和随机算法最大的区别就是，当我们设计、分析、讨论近似算法的时候，我们关注的都是它的最坏情况。也就是说，近似算法是完全可控的，而纯粹的随机算法则是通过概率来减少坏情况出现的可能，并没有严格的约束。近似算法最坏也就坏到 $\rho$，而随机算法最坏可以坏到海拉鲁大陆。

近似范式¶

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Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial-time_approximation_scheme

近似范式(approximation scheme)指的是对于某个优化问题的一族相同模式的算法，它们满足对于确定的 $\epsilon > 0$，算法的近似比为 $1+\epsilon$。

可以粗糙地理解为：“范式”是一个输出为算法的特殊函数，而 $\epsilon$ 是“范式”的一个参数，对于特定的 $\epsilon$，“范式”输出一个特定的算法（这些算法有着相同的模式），而这些“范式”输出的算法，都解决同一个问题，并且对于任意固定的 $\epsilon$ 其近似比为 $1+\epsilon$。

而关于 $\epsilon > 0$ 这个约束，是因为近似比必定大于 1。

而此时，这一族的算法的复杂度可以表示为 $O(f(n, \epsilon))$，如 $O(n^{2/\epsilon}), O((\frac{1}{\epsilon})^2n^3)$。当 $f(n, \epsilon)$ 关于 $n$ 是多项式时，我们称其为多项式时间近似范式(polynomial-time approximation scheme, PTAS)。当 $f(n, \epsilon)$ 关于 $n$ 和 $\frac{1}{\epsilon}$ 都是多项式时，我们称其为完全多项式时间近似范式(fully polynomial-time approximation scheme, FPTAS)。

为什么要区分 PTAS 和 FPTAS 呢？我们观察 $\epsilon$ 对算法的影响：随着 $\epsilon$ 的减小，近似比逐渐变小，即准确度提高；而 $\frac{1}{\epsilon}$ 变大，而通常来说 $\frac{1}{\epsilon}$ 与算法复杂度都是正相关的，因此会导致算法复杂度升高。如果说这个近似范式是 FPTAS，那么为了提高准确度而缩小 $\epsilon$，导致的复杂度变化是相对可接受的（多项式级的变化，如 $(\frac{1}{\epsilon})^2n^3$ 关于 $\frac{1}{\epsilon}$ 是多项式级的）；然而如果它不是 FPTAS，那么 $\epsilon$ 的缩小可能带来恐怖的复杂度增加（如 $n^{2/\epsilon}$ 关于 $\epsilon$ 是指数级的）。

接下来，我们以若干具体例子做分析，以便更好地理解近似算法。

[案例] Approximate Bin Packing¶

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Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Bin_packing

装箱问题指的是，给定 $N$ 个 item，第 $i\in [1,N]$ 个 item 的 size 为 $S_i \in (0,1]$，一个 bin 的大小为 $1$，尝试寻找最少的，能够装载所有 item 的 bin 的数量。

🌰 例子

给定 7 个 item，size 分别为 $0.2, 0.5, 0.4, 0.7, 0.1, 0.3, 0.8$，则最少需要 3 个 bin（准确解）：

bin 1: $0.2 + 0.8$;
bin 2: $0.7 + 0.3$;
bin 3: $0.4 + 0.1 + 0.5$;

这是一个 NP hard 问题，现在我们考虑三种近似解法。需要注意的是，这三种都是在线(online)解法，即处理 $item_i$ 时我们不知道 $item_{i+1}\sim item_{N}$ 的情况。之后我们会再讨论离线(offline)做法，也就是我们知道所有 item 的情况以后再给出策略。

(online) Next Fit (NF)¶

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Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Next-fit_bin_packing

NF 策略总是选择当前最后一个 bin，若能够容纳，则将当前 item 放入其中，否则新开一个 bin。

NF 策略总是使用不超过 $2M-1$ 个 bin，其中 $M$ 表示准确解的 $\#bin$。

proof for 2M-1

我们从 NF 的结果出发，证明当 NF 的结果为需要 $2M-1$ 或 $2M$ 个 bin 时，准确解为至少需要 $M$ 个 bin。

假设 $S(B_i)$ 表示第 $i$ 个 bin 的 size，则根据 NF 的定义，有：$S(B_{i}) + S(B_{i+1}) > 1$（是 NF 的必要不充分条件）。稍作解释，使用反证法，假设 $S(B_{i}) + S(B_{i+1}) \leq 1$，这说明无论 $B_{i+1}$ 中有多少 item，都一定能放进 $B_i$，而这与 NF “$B_i$ 放不下了才开始放 $B_{i+1}$” 的性质相违背。于是我们将所有桶两两配对：

1.当 NF 的结果是需要 $2M-1$ 个 bin 时：

\[ \left\{ \begin{aligned} S(B_1) + S(B_2) &> 1 \\ S(B_3) + S(B_4) &> 1 \\ \vdots \\ S(B_{2M-3}) + S(B_{2M-2}) &> 1 \\ S(B_{2M-1}) &\leq 1 \end{aligned} \right. \\ \begin{aligned} &\therefore \sum_{i=1}^{2M-1} > \sum_{i=1}^{2M-2} > M-1 \\ &\therefore \sum_{i=1}^{2M-1} \geq M \end{aligned} \]

即 item 的总 size 至少为 M，即至少需要 $M$ 个 bin。

2.而当 NF 的结果是需要 $2M$ 个 bin 时，可以转化为 $2M-1$ 的情况。

(online) First Fit (FF)¶

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Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/First-fit_bin_packing

FF 策略总是选择第一个能放下当前 item 的 bin，若所有 bin 都无法容纳当前 item，则新开一个 bin。

NF 策略总是使用不超过 $\lfloor 1.7M \rfloor$ 个 bin，并且存在一族能对边界取等的输入，其中 $M$ 表示准确解的 $\#bin$。

(online) Best Fit (BF)¶

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Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Best-fit_bin_packing

BF 策略总是选择能够容纳当前 item 且剩余空间最小的 bin（即 tightest），若所有 bin 都无法容纳当前 item，则新开一个 bin。

NF 策略也总是使用不超过 $\lfloor 1.7M \rfloor$ 个 bin，并且存在一族能对边界取等的输入，其中 $M$ 表示准确解的 $\#bin$。

虽然在线做法由于对信息把握的不全面，在不特殊构造输入的情况下甚至几乎不可能达到最优解，但是现实世界中有很多能建模为装箱问题的问题，都要求使用在线做法解决。因此，研究在线做法还是有其意义的。

此外，关于在线做法，有一个结论：

theorem

对于装箱问题，如果限定使用在线做法，则最优的近似解法，其最坏情况的结果也至少需要准确解的 $\frac{5}{3}$。

PPT 上的原话是，无论哪种在线做法也至少需要使用 $\frac{5}{3}$ 的准确解给出的数量，但是显然这个 $\frac{5}{3}$ 是针对最坏解的讨论。回顾「近似算法 v.s. 随机算法」这个 block 里的内容，我们分析近似解，都是针对其最坏情况来说的。

(offline) First Fit Decreasing (FFD)¶

离线做法的优势在于它能够获得所有 item 的信息以求统筹规划。这里给出的近似做法是，将 item 按照 size 降序排序，而后使用 FF（或 BF，由于单调性，两者等价）。

🌰 例子

给定 7 个 item（同之前的 🌰），经过排序后，它们的 size 分别为 $0.8, 0.7, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1，则最少需要 3 个 bin（准确解）：

bin 1: $0.8 + 0.2$;
bin 2: $0.7 + 0.3$;
bin 3: $0.5 + 0.4 + 0.1$;

FFD 策略总是使用不超过 $\frac{11}{9}M + \frac{6}{9}$ 个 bin（为啥就连 wiki 也不约 6/9），并且存在一族能对边界取等的输入，其中 $M$ 表示准确解的 $\#bin$。

[案例] Knapsack Problem¶

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Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem

一个与装箱问题很像的问题是背包问题。其大致描述如下：给定一个容量为 $M$ 的背包，以及 $N$ 个 item，第 $i$ 个 item 的重量为 $w_i$，其利润为 $p_i$。要求在不超过背包容量的前提下，使得背包中的利润最大化。（我也不知道为什么 PPT 上会把容量和重量关联起来，anyway，容量限制了 item 的重量和。）

注意

或许在学习 dp 的时候你已经接触过背包问题了，但是请注意，我们这里讨论的背包问题有一个非常重要的特点就是，容量和利润都是实数，更直白的来说，你没办法通过将容量或利润作为状态来 dp 求准确解。

而根据每一个物品能否自由拆分，背包问题分为 fractional version 和 0-1 version 两类。

Fractional Version¶

如果我们记 $x_i\in[0,1]$ 为第 $i$ 个 item 的选中量（即假设 item 都是连续可分的），则约束条件可以表述为 $\sum_{i}^N w_ix_i \leq M$，现在求 $\sum_{i}^{N} p_ix_i$ 的最大值。

🌰 例子

假设现在 $M = 20.0$，并且 $N = 3$，分别是：

item 1: $w_1 = 18.0, p_1 = 25.0$;
item 2: $w_2 = 15.0, p_2 = 24.0$;
item 3: $w_3 = 10.0, p_3 = 15.0$;

则最优解为 $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = \frac{1}{2}$，此时 $\sum_{i}^{N} p_ix_i = 31.5$。

由于 $x_i\in[0,1]$，给了我们极大的选择自由，我们可以选择任意多的某个物品。那么非常朴素的一个想法就是，尽可能多地选择“性价比”高的物品。也就是说，我们可以按照 $\frac{p_i}{w_i}$（PPT 称之为 profit density）降序排序，而后从大到小依次选择物品，直到背包装满为止。

不过该做法已经是准确解了，所以我们不对它进行关于近似算法的讨论。

0-1 Version¶

相较于 fractional version，0-1 version 要求 $x_i \in \{0,1\}$，换句话说每一个物品要么选要么不选。这是一个经典的 NPC 问题，我们尝试使用近似算法来求较优解。

贪心做法¶

我们可以使用贪心算法，贪心策略可以是总是选可以放得下的、还没放入中的，利润最大的或 $\frac{p_i}{w_i}$ 最大的。这些做法的近似比都是 2。

proof for rho = 2

我们用 $p_\text{max}$ 表示所有 item 中最大的利润，用 $P_\text{optimal}$ 表示准确解，$P_\text{greedy}$ 表示我们使用贪心做法得到的答案。在该问题中，近似比的计算表达式为：

\[ \rho = \max( \frac{P_\text{optimal}}{P_\text{greedy}}, \frac{P_\text{greedy}}{P_\text{optimal}} ) \]

下面是证明过程：

\[ \left\{ \begin{aligned} & p_\text{max} \leq P_\text{greedy} & (1)\\ & P_\text{optimal} \leq P_\text{greedy} + p_\text{max} & (2) \end{aligned} \right. \]

将 $(1)$ 式两侧同除以 $P_\text{greedy}$ 得：

\[ \frac{p_\text{max}}{P_\text{greedy}} \leq 1 \quad (3) \]

将 $(2)$ 式两侧同除以 $P_\text{greedy}$，并代入 $(3)$ 得：

\[ \frac{P_\text{optimal}}{P_\text{greedy}} \leq 1 + \frac{p_\text{max}}{P_\text{greedy}} \leq 2 \]

PPT 的证明过程中还有一个不等式，虽然成立，但是好像没起到作用，我就扩展一下写在这里求个眼熟了：

\[ p_\text{max} \leq P_\text{greedy} \leq P_\text{optimal} \leq P_\text{frac} \]

其中 $P_\text{frac}$ 指的是同样的数据下 fractional version 的答案。

补充结论：背包问题具有 FPTAS。

动态规划做法¶

~~（真是混乱）~~

\[ W_{i,p} = \text{the minimum weight of a collection from } \{1, …, i\} \text{ with total profit being exactly } p \\ W_{i,p} = \left\{ \begin{aligned} &\infty && i = 0 \\ &W_{i-1, p} && p_i > p \\ &\min\{W_{i-1, p}, w_i + W_{i-1, p-p_i}\} && otherwise \end{aligned} \right.\\ i = 1, ..., n; p = 1, ..., n\cdot p_\text{max} \\ O(n^2p_\text{max}) \]

如果 $p_\text{max}$ 很大，可以考虑将它们近似取整，类似于将浮点数向上取整。

[案例] The K-center Problem¶

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Berkeley's: https://ugtcs.berkeley.edu/src/approx-sp19/scribe-notes-2.pdf

（二维）K 中心问题指：给定平面上的一系列 site（即点），在平面中找出 $k$ 个不同的 center，记 $site_i$ 到离它最近的 center 的距离为 $dis_i$，求 $\max \{dis_i\}$ 的最小值。

数学语言表达

设 $C = \{c_1, c_2, ..., c_k\}$ 为 $k$ 个 center，$S = \{s_1, s_2, ..., s_n\}$ 为 $n$ 个 site，我们定义 site 到关于 center 的集合 $C$ 的距离为：

\[ dis(s_i, C) = \min_{c_i\in C} \{ dis(s_i, c_i) \} \]

即 $s_i$ 到距离它最近的 center 的距离。

定义最大的最小覆盖半径为：

\[ r(C) = \max_{s_i\in S} \{ dis(s_i, C) \} \\ \]

现在要寻找一个 $C$ 使得 $r(C)$ 最小（$|C| = k$）。

很绕，非常绕。接下来开始说人话。

平面的问题我们就用平面的思路来看，就是一个平面上有一堆点，现在我要在上面找 $k$ 个中心去画圆，使得这 $k$ 个圆能覆盖所有的点。现在要求最大的那个圆的半径最小能多小。

关于距离

PPT 上对距离做了更进一步的说明，但是其实并不是这个问题的重点，但是为了严谨性，我还是在这里放上三条性质：

3 property of 'distance'

\[ \begin{aligned} & dis(x,x) = 0 && \text{(identity)} \\ & dis(x,y) = dis(y,x) && \text{(symmetry)} \\ & dis(x,y) \leq dis(x,z) + dis(z,y) && \text{(triangle inequality)} \end{aligned} \]

碎碎念

这个东西和聚类有点像。主要难点就在于，我们不知道应该以何种策略去覆盖这些点，要是把两个距离很远的点划在同一个圆内，那答案肯定小不了。

接下来我们来尝试解决的这个问题。

Naive Greedy¶

一个做法是，我们每次都选择最可能成为中心的那个点，具体来说：

如果是第一个点，就选取所有点的中心；
如果不是第一个点，就选取能一个最能让 $r(C)$ 下降的；

这个做法的 bug 比较大，假设我们的点是聚类非常明显的两个点云，那么第一个点就会落在两个点云之间，这很蠢，所以我们不浪费过多时间在这个方法上。

注意，随着 center 的增加，原来以 $c_i$ 为 center 的 site 很可能以最新插入的 $c_j$ 为 center。

2r-Greedy¶

既然正向做很困难，那我们能不能反着做呢？有一种套路叫二分答案，即先猜答案，再验证是否是答案。在这个问题中我们可以迁移这个思想，即先猜一个 $r$，然后尝试用 $k$ 个半径为 $r$ 的圆去覆盖剩下的所有点。

更具体的来说，假设准确解对应的一个 center 集合为 $C^*$，那么 $\forall r(C_x) \geq r(C^*)$ 的 $C_x$ 都必定存在覆盖方案；反过来说，如果我们能够验证对于 $C_x$ 能够覆盖所有的点，那么就可以约束准确解 $r(C^*) \leq r(C_x)$。

如何“验证”

可是，仔细一想我们发现，二分答案的过程中，“验证对于 $C_x$ 能够覆盖所有的点”这件事也不好做，虽然我们有半径，但是我们也很难找到一个最好的方案来覆盖所有的点。

hint: 近似算法

于是我们的近似算法就可以大展拳脚了。但是需要注意，这里所谓的近似算法，指的是使用二分答案求解 $r(C)$ 这个算法，而非判断 $k$ 个半径为 $r$ 的圆能否覆盖所有点的算法。这一点非常重要！

而关于算法具体如何操作，请接着看。

首先，我们再次梳理一下这个算法，它包含内外两层，首先外部通过在答案的候选区间（即 $(0, r_\text{max}]$，$r_\text{max}$ 为最远的两个点的距离）二分候选值，接着通过判定算法来判定接下来的二分方向。

然而，由于我们很难在多项式时间实现准确的“判定”，所以我们采取这样一个启发式的策略来进行宽泛的必要条件筛选：

流程描述

设 $C_x$ 表示选中的 center，$S_x$ 表示尚未被任何圆覆盖的 site，$r_x$ 表示当前二分出来的，要我们判断的半径，$S$ 依然表示所有 site 的集合：

初始化 $C_x = \emptyset$；
当 $S_x \not = \emptyset$ 时（即还有点没被覆盖时），重复这些操作：
1. 随机选取一个 site $s_i \in S_x$，将其插入 $C_x$（即将 $s_i$ 当作一个 center），并从 $S_x$ 中将 $s_i$ 删除（即 $s_i$ 必定被覆盖）；
2. 删除 $S_x$ 中所有距离 $s_i$ 不足 $r_x$ 的点（即删除满足 $dis(s_i, s_j) \leq r_x$ 的所有 $s_k \in S_x$）；
当所有点都被覆盖后：
1. 如果 $|C_x| \leq k$，则返回 yes；
2. 否则返回 no；

如果返回 yes，则下一个 $r_x$ 应当取更小的 $r_x$；如果返回 no，下一次应该取更大的 $r_x$（稍候会解释为什么）。

现在对其做进一步解释。这是一个启发式的做法，旨在每次寻找还没被覆盖的点作为新的 center，用一个半径为 $2r_x$ 的圆去覆盖剩下的点。通过判断这样所需要的 center 数量是否超过 $k$ 来判断是否能够覆盖。接下来很绕，请一步一步的看：

当这个启发式搜索成功时，说明 $2r_x \geq r(C^*)$，即 $k$ 个 $2r_x$ 的圆可以覆盖所有点；
当这个启发式搜索失败时，不能说明 $2r_x \geq r(C^*)$，即 $k$ 个 $2r_x$ 的圆不能覆盖所有点，因为启发式方案并不是最优方案；但是能说明必定不存在 $r_x$ 的覆盖，即 $r_x \leq r(C^*)$（证明见下方 lemma）；

lemma

假设半径为 $r$，以 $c$ 为圆心的圆 $C$ 覆盖了 $S$ 中的所有点。

那么，对于固定的半径 $r'$，要想取任意的 $s_i \in S$ 为圆心，形成的圆 $C_i$，总是能覆盖 $S$ 中的所有点，则 $r' \geq 2r$。

lemma 的证明就不在这里展开了，证明的关键是考虑两点分布在直径两端的情况。

这个引理的附加结论就是：

\[ \forall i \quad C \subset C_i \]

即以 $r$ 为半径的最优覆盖圆，一定能被以任意 $s_i$ 为圆心、$2r$ 为半径的圆所覆盖。

当我们发现我们处于情况 1. 时，我们开心的发现我们确实得到了一个距离 $r(C^*)$ 更近的上界 $2r_x$，由于二分的性质，我们每次通过 1. 确定的上界，总是越来越紧的。

当我们处于情况 2. 时，我们不知道 $2r_x$ 和 $r(C^*)$ 的大小关系，但是知道 $r_x$ 和 $r(C^*)$ 的关系，由于二分的性质，我们每次通过 2. 确定的下界，也总是越来越紧的。

而最终，我们会得到一个最终的 $r_{x_0}$，满足：$r_{x_0} \leq r(C^*) \leq 2r_{x_0}$（式中哪边能取等取决于最后落在 1. 还是 2.）。

而我们最终给出的答案是 $2r_{x_0}$（因为 $r_{x_0}$ 不满足条件，不是解，更不是近似解）。

现在，我们来计算近似比：

\[ \begin{aligned} & \begin{aligned} \because \;\;\; & r_{x_0} \leq r(C^*) \leq 2r_{x_0} \\ & \frac{1}{2} \leq \frac{r(C^*)}{2r_{x_0}} \leq 1 \\ & 1 \leq \frac{2r_{x_0}}{r(C^*)} \leq 2 \end{aligned} \\ & \therefore \; \rho = \max\{ \frac{ 2 r_{x_0} }{ r(C^*) }, \frac{ r(C^*) }{ 2 r_{x_0} } \} = 2 \end{aligned} \]

Smarter Greedy¶

我们关注到，上面那个做法总是随机的选取新的 $c_i$，但是对于 center 的选取，我们其实可以总是选择距离已有的 center 最远的点，此外，当 $|C| > k$ 时，我们也没必要继续做了。

流程描述

初始化 $C_x = \emptyset$，$S_x = S$；
随机选取一个 site $s_i \in S_x$，将其插入 $C_x$，并从 $S_x$ 中将 $s_i$ 删除；
当 $|C_x| \leq k$ 且 $S_x \not = \emptyset$ 时，重复以下步骤：
1. 选取一个 site $s_i \in S_x$，这个 site 满足 $\forall s_j \in S_x \quad dis(s_i, C_x) \geq dis(s_j, C_x)$（即这个点是还没被覆盖的点中距离 $C_x$ 最远的点）；
2. 将 $s_i$ 插入 $C_x$，并从 $S_x$ 中将 $s_i$ 删除；
如果 $|C_x| \leq k$ 且 $S_x = \emptyset$，则返回 yes；否则返回 no。

由于这个做法实际上只是优化了一下启发式的策略，并没有改变内核，所以其近似比仍然是 $2$。

总结¶

关于算法的设计，我们考虑这三个维度：

最优性(optimality)：即能求准确解；
高效性(efficiency)：即算法是否高效；
普遍性(all instances)：即算法是否普遍适用于所有的情况；

倘若一个解法：

同时满足最优性和高效性，那么这个算法对特殊情况能高效求准确解；
同时满足最优性和普遍性，那么这个算法对所有情况都能求准确解；
同时满足高效性和普遍性，那么这个算法可能是个近似算法；

就算 N=NP 成立，我们仍然无法保证三个愿望一次满足。

不是很明白最后一句话如何理解，但是这一部分应该就是看个眼熟，不是很重要。