PCA | 主成分分析

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思路：通过分析找到数据特征的主要成分，使用这些主要成分来代替原始数据；将\(d\)维特征数据映射到\(l\)维空间，去除数据的冗余性，将原始数据向这些数据方差最大的方向进行投影

主成分分析要求“降维后的结果要保持原始数据的原有结构”（要求方差结构不变）

方差：样本数据的波动程度，数值上等于各个数据与样本均值之差的平方和之平均数

\[ \text{var}(X)=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-u)^2 \]

协方差：衡量两个变量之间的相关度

\[ \text{cov}(X,Y)=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-E(X))(y_i-E(Y)) \]

\(\text{cov}(X,Y)\)为正：正相关，为负：负相关，为0：不相关

皮尔逊相关系数：

\[ \text{corr}(X,Y)=\dfrac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{var}(X)\text{var}(Y)}}=\dfrac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_x\sigma_y} \]

推导

保持方差：向投影后方差最大的方向投影

假设有\(n\)个\(d\)维样本数据所构成的集合\(D=\set{x_1,\cdots,x_n}\)，其中\(x_i(1\leqslant i\leqslant n)\in\mathbb{R}^d\)，表示为\(X_{n\times d}\)；投影目标为降维数据\(Y\in \mathbb R^{n\times l}\)，求映射矩阵\(W\in\mathbb R^{d\times l}\ s.t.\) $$ Y=XW $$ 降维后\(Y\)方差为 $$ \text{var}(Y)=\dfrac{1}{n-1}\text{tr}(Y^\mathsf TY)=\text{tr}(W^\mathsf T\dfrac{1}{n-1}X^\mathsf TXW) $$ 记降维前样本数据\(X\)协方差矩阵为 $$ \Sigma=\dfrac{1}{n-1}X^\mathsf TX $$ 则优化目标 $$ \max\limits_{W}\text{tr}(W^\mathsf T\Sigma W) $$ 约束：标准化\(w_i^\mathsf Tw_i=1\quad i\in\set{1,\cdots,l}\)

优化方法：Lagrange乘子法 $$ L(W,\lambda)=\text{tr}(W^\mathsf T\Sigma W)-\sum_{i=1}^{l\lambda_i(w_i}\mathsf Tw_i-1) $$ $$ \dfrac{\partial L}{\partial w_i}=0\Rightarrow \Sigma w_i=\lambda_iw_i $$ 即\(w_i\)为 \(\Sigma\) 的特征向量，\(\lambda_i\)为相应特征值.

步骤：

• 对于每个样本数据\(x_i\)进行中心化处理：\(x_i=x_i-\mu,\mu=\dfrac{1}{n}\sum x_i\)
• 计算原始样本数据的协方差矩阵：\(\Sigma=\dfrac{1}{n-1}X^\mathsf TX\)
• 对协方差矩阵\(\Sigma\)进行特征值分解，对所得特征根进行排序：\(\lambda_1\geqslant\lambda_2\geqslant \cdots \geqslant\lambda_l\)
• 取前\(l\)个最大特征根所对应的特征向量\(w_1,\cdots,w_l\)组成映射矩阵

应用：特征人脸法