04 组合群式 - 伪币辨识¶
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问题背景
12枚外观相同的硬币中有一枚是伪币，伪币质量与真币不同。天平一次称量只能比较两端质量大小，不能读出质量数值。能否用天平称量三次找出伪币，并说明伪币相对真币偏轻或偏重。
组合群式¶
群式分为组合群试和概率群式。
- 组合群式：假定\(n\)枚硬币中有\(k\)枚是伪币，如何用尽可能少的检测次数（在任何情况下）找出全部的伪币
- 概率群试：假定\(n\)枚硬币相互独立地以概率\(p\)可能是伪币，如何找出全部的伪币，使平均检测次数尽可能少
这个问题是组合群试的问题。概率群式我们将在疾病检测中讨论。
特殊情况¶
后一次称量依赖于之前称量结果的方案为自适应（adaptive）的，否则称为非自适应（non-adaptive）的
自适应方案¶
硬币真伪的可能性共有\(12\times 2 = 24\)种。每一种称量结果对应一种可能性，不同称量结果对应的可能性各不相同
非自适应方案¶
自适应方案缺点在于三次实验不能同时进行，这对一些称量周期大的实验来说是不可接受的。因此我们考虑非自适应方案。
我们先给出十二枚硬币三种称量
如果伪币为重，则在1、4、9、10中，如果伪币为轻，则在2、5、7、12中
此时不知伪币轻重，但是可以确定伪币在补集3、5、9、11中
如果伪币为重，则在3、4、7、11中，如果伪币为轻，则在1、5、8、12中
把我们判断轻重的部分放在一起，可以得到如下的判断表
每个判断中取三组的交集，即可得到伪币的位置
一般结论¶
对任意整数\(w>2\) - 若 \(3\leq n\leq \frac{3^w-3}{2}\)，则存在一种非自适应的称量方案，使用 \(w\) 次称量可从 \(n\) 枚硬币中辨别伪币并确定轻重。 - 若 \(n>\frac{3^w-3}{2}\)，则不存在自适应的称量方案，用 \(w\) 次称量即可从 \(n\) 枚硬币中辨别伪币并确定轻重。
一般情况的非自适应方案¶
构造要能实现非自适应方案，需要满足Dyson集，即满足以下条件的\(w\)元向量子集\(S\subseteq \{-1,0,1\}^w\)
- \(\sum_{\mathbf{v}\in S}\mathbf{v}=\mathbf{0}\)，确保天平两端硬币数相等
- 若\(\mathbf{v}\in S\)，则\(-\mathbf{v}\notin S\)，确保伪币唯一且确定轻重
我们要先构造出这样的向量集，然后再放上去称。例如，对于\(w=3\)，我们可以构造出如下的集合
对应到那12个硬币，\(1\)表示在天平左侧，\(-1\)表示在天平右侧，\(0\)表示不在天平上。我们可以验证，这个集合满足Dyson集的条件。
如果最后的结果如下图所示，
那么我们可以得到1,0,1(1表示为重)这样的向量，这个向量就与伪币有关。如果我们硬币的标记为1,0,1，那它就是重伪币；如果为-1,0,-1，那它就是轻伪币。
构造Dyson集¶
构造映射\(f:\{-1,0,1\}\rightarrow \{-1,0,1\}\)，使得\(f(-1)=0\)，\(f(0)=1\)，\(f(1)=-1\)。例如\((-1,0,1,1)\rightarrow (0,1,-1,-1)\)。
记集合\(\mathbf{S}(\mathbf{x})=\{\mathbf{x},f(\mathbf{x}),f(f(\mathbf{x})),-\mathbf{x},-f(\mathbf{x}),-f(f(\mathbf{x}))\}\)，\(\mathbf{S}(\mathbf{x})^+ = \{\mathbf{x},f(\mathbf{x}),f(f(\mathbf{x}))\}\)。我们要选取的就是属于\(\mathbf{S}(\mathbf{x})^+\)的向量。
因为我们不要\(\{1,1,\cdots,1\}\)，\(\{0,0,\cdots,0\}\)，\(\{-1,-1,\cdots,-1\}\)，且不要\(\mathbf{S}(\mathbf{x})^- = \{-\mathbf{x},-f(\mathbf{x}),-f(f(\mathbf{x}))\}\)中的向量，所以我们可选取的向量个数为\(\frac{3^w-3}{2}\)个，也就印证了一般结论中的第一个结论。
那么如何选取\(\mathbf{v}\in \mathbf{S}(\mathbf{x})\)使得\(\sum_{\mathbf{v}\in S}\mathbf{v}=\mathbf{0}\)呢？我们先寻找\(\{-1,0,1\}^w\)中\(\frac{3^w-3}{6}\)个基本向量，每个对应着不同的\(\mathbf{S}(\mathbf{x})^+\)。
然后需要分情况讨论。
\(w\) 次称量可从 \(n\) 枚硬币中辨别伪币并确定轻重
- \(n=3k\)时，因为\(\mathbf{x}+f(\mathbf{x})+f(f(\mathbf{x}))=0\)，所以我们选取：\(S^+(\mathbf{v_1})\cup S^+(\mathbf{v_2})\cup S^+(\mathbf{v_3})\cup \cdots \cup S^+(\mathbf{v_k})\)
- \(n=3k+1\)时
- \(n=3k+2\)时
至此，我们给出了一般情况下的非自适应方案。这就是为什么我们在第一次称量中要把硬币分成三组的原因。