05 概率群式 - 疾病检测¶
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问题背景
假定 \(n\) 个人相互独立地以概率 \(p\) 患病，如何找出全部的病人，使平均检测次数尽可能少？
名词介绍¶
记 \(A\) 为患病，\(B\) 为检测结果为阳性，疾病检测方法的性能指标为
- 灵敏度（sensitivity）\(p=P(B|A)\) ：患病者被检测为阳性（positive）的概率
- 特异度（specificity）\(q=P(\overline{B}|\overline{A})\) ：未患病者被检测为阴性（negative）的概率
设疾病的发病率为 \(r\) ，则被检测出阳性的情况下患病的概率为
概率群式¶
概率群式：假定 \(n\) 个人相互独立地以概率 \(p\) 患病，如何找出全部的病人，使平均检测次数尽可能少？
如何选择群式方案？我们要考虑平均检测次数、检测阶段数、每人最大检测次数、每组最多样本数、方案的可操作性、检测的灵敏度与特异度等多个因素
两阶段群式¶
将 \(n\) 人的样本混合后检测。若结果为阴性，说明这 \(n\) 人均未感染。若结果为阳性，说明这 \(n\) 人中至少有一人已感染。此时逐个检测每个人样本。
检测次数¶
- 混合样本阴性概率为 \((1-p)^n\) ，总检测次数为 \(1\) ；
- 混合样本阳性概率为 \(1-(1-p)^n\) ，总检测次数为 \(n+1\) 。
- 检测次数的数学期望为 \(1\cdot(1-p)^n+(n+1)\cdot(1-(1-p)^n)\) ；
- 平均检测次数的数学期望为 \(\frac{1\cdot(1-p)^n+(n+1)\cdot(1-(1-p)^n)}{n}\) 。
矩阵检测方案¶
自适应思路¶
将 \(m\times n\)(\(m\leq n\))个人按矩阵排好，先检测每行样本，若结果为阴性，说明这 \(m\) 人均未感染。若结果为阳性，说明这 \(m\) 人中至少有一人已感染。此时逐个检测每列样本。
检测次数¶
这里的每行就相当于两阶段群式中的混合样本，每列就相当于两阶段群式中的每个人样本。
非自适应思路¶
将 \(m\times n\)(\(m\leq n\))个人按矩阵排好，对每行每列分别进行检测。通过检测结果确定感染者的位置。
检测次数¶
总检测次数均为 \(m+n\) 。
三阶段检测方案¶
第一阶段：有 \(n\) 个人，进行总体的混合检测，若结果为阴性，说明这 \(n\) 人均未感染。若结果为阳性，说明这 \(n\) 人中至少有一人已感染。进入第二阶段。
第二阶段：将这 \(n\) 人分成 \(A\) ，\(B\) 两组，每组 \(n/2\) 人，先对 \(A\) 组进行检测，若结果为阴性，说明这 \(n/2\) 人均未感染，且确定感染者在 \(B\) 组。若结果为阳性，说明这 \(n/2\) 人中至少有一人已感染，但仍需确定 \(B\) 组是否有感染者，此时对 \(B\) 组进行总体的混合检测。
第三阶段：对有感染者的组进行逐个检测，确定感染者的位置。
计算概率：
第一阶段
- 结果为阴性的概率为 \((1-p)^n\) ，总检测次数为 \(1\) ；
第二阶段
-
\(A\) 组结果为阴性的概率为 \((1-p)^{n/2}\) ；则\(B\)组肯定为阳性，这发生的概率为 \(1-(1-p)^{n/2}\)
\[ \begin{aligned} &第一阶段总体检测+检测A组+逐个检测B组\\ =&1+1+n/2 \\=&2+n/2 \end{aligned} \] -
\(A\) 组结果为阳性的概率为 \(1-(1-p)^{n/2}\) ，\(B\) 组结果为阴性的概率为 \((1-p)^{n/2}\) ，总检测次数为
\[ \begin{aligned} &第一阶段总体检测+总体检测A组+逐个检测A组+总体检测B组\\ =&1+1+n/2+1\\ =&3+n/2 \end{aligned} \] -
\(A\) 组结果为阳性的概率为 \(1-(1-p)^{n/2}\) ，\(B\) 组结果为阳性的概率为 \(1-(1-p)^{n/2}\) ，总检测次数为
\[ \begin{aligned} &第一阶段总体检测+总体检测A组+逐个检测A组+总体检测B组+逐个检测B组\\ =&1+1+n/2+1+n/2 \\ =&3+n \end{aligned} \]
所以总检测次数的数学期望为
平均检测次数的数学期望为