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13 追逐问题

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问题背景

两艘船在平静的海面上相向而行，海盗船的速度为 \(v_p\)，商船的速度为 \(v_m\)

  1. 两船速度不变。
  2. 海盗船的航向始终指向商船。

问：海盗船是否能追上商船？追上时，两船的位置分别在哪里？

两船速度不变

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若在某一时刻，海盗船与商船位于同一地点 \(A(x,y)\)，则\(\frac{|AO|}{|MO|} = k\)，即

\[\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{(x-m)^2+y^2}} = k\]

所以 \(A\) 的轨迹为圆

\[(x-\frac{k^2m}{k^2-1})^2+y^2 = (\frac{km}{k^2-1})^2\]

阿波罗尼奥斯圆

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两船速率不变，一船方向改变

商船沿直线航行，航向垂直于连接商船与海盗船初始位置的直线。在任意时刻，海盗船的航行方向为连接商船与海盗船此时位置的直线的方向。

以海盗船初始位置为原点，商船初始位置为 \(M(m,0)\)，建立直角坐标系，记 \(\frac{v_m}{v_p}=r\)。设海盗船在与商船相遇前的轨迹为函数 \(y=f(x)\)，则

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在 \(t\) 时刻

  • 商船位置 \(M_t\left(m,v_mt\right)\)，海盗船位置 \(P_t\left(x(t),y(t)\right)\)
  • 连接海盗船与商船当前位置的直线斜率为 \(\frac{y-v_mt}{x-m}=f^{\prime}(x)\)
    • 直线方程为 \(y-v_mt = f'(x)(x - m)\)
  • 海盗船的轨迹自原点至 \(P_t\) 的弧长为 \(v_pt=\int_0^x\sqrt{1+{f^\prime}^2(z)}dz\)

所以，我们可以得到

\[\frac1{v_p}\int_0^x\sqrt{1+f^{\prime{2}}(z)}dz=t=\frac1{v_m}\left(y-\left(x-m\right)f^{\prime}(x)\right)\]

对两边求导，我们有

\[ \begin{aligned} \frac1{v_p}\sqrt{1+{f^{\prime}}^2(x)}&=\frac1{v_m}\Big(f^{\prime}(x)-f^{\prime}(x)-\left(x-m\right)f^{\prime\prime}(x)\Big)\\ -\frac{v_m}{v_p}\sqrt{1+{f^{\prime}}^2(x)}&=\left(x-m\right)f^{\prime\prime}(x)\\ \frac{\mathrm{d}f^{\prime}(x)}{\sqrt{1+{f^{\prime}}^2(x)}}&=-\frac r{x-m}\mathrm{d}x \\ \ln\left|f^{\prime}(x)+\sqrt{1+f^{\prime2}(x)}\right\|_{0}^{x}&=-r\ln\left|x-m|\right|_{0}^{x}\\ \quad\Rightarrow\ln\left|f^{\prime}(x)+\sqrt{1+f^{\prime2}(x)}\right|&=-r\ln\left|1-\frac{x}{m}\right| \\ \quad\Rightarrow f^{\prime}(x)+\sqrt{1+f^{\prime2}(x)}&=\left(1-\frac{x}{m}\right)^{-r} \\ \end{aligned} \]

对两边取倒数，我们有

\[ \begin{cases} f^{\prime}(x)+\sqrt{1+f^{\prime2}(x)}&=\left(1-\frac{x}{m}\right)^{-r}\\ f^{\prime}(x)-\sqrt{1+f^{\prime2}(x)}&=\left(1-\frac{x}{m}\right)^{r} \end{cases} \]

所以

\[ f^{\prime}(x)=\frac12\left(\left(1-\frac{x}{m}\right)^{-r}-\left(1-\frac{x}{m}\right)^{r}\right) \]

对两边积分，我们有

\[ f(x)=\frac{rm}{1-r^2}+\frac{m-x}2{\left(\frac1{1+r}\left(1-\frac xm\right)^r-\frac1{1-r}{\left(1-\frac xm\right)^{-r}}\right)} \]

所以追上时的纵坐标为

\[ f(m)=\frac{rm}{1-r^2} \]

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