14 最速降线问题

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问题背景

给定垂直平面上两点 \(A,B\)，一质点以何路径从 \(A\) 运动到 \(B\)，可使运动时间最短？

直线下降

就是斜坡下滑问题，有

\[\frac{1}{2}g\cos\theta T^2 = l\]

所以

\[T = \sqrt{\frac{2l}{g\cos\theta}}=\sqrt{\frac{2\sqrt{x_B^2+y_B^2}}{g\frac{y_B}{\sqrt{x_B^2+y_B^2}}}}=\sqrt{\frac{2(x_B^2+y_B^2)}{gy_B}}\]

如果用常微分方程来解，我们有

圆弧下降

最速降线

光

Fermat 原理

光线在两点之间传播的路径是使得两点之间的传播时间最短的路径。

Snell 定律

\[\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}\]

可由 Fermat 原理 推出。

推导最速降线

将平行于 \(x\) 轴的直线视作折射率逐渐减小的不同介质的分界面。

由 Snell 定律，可知 \(\frac{sin\theta}{v}\) 为常数，记

\[\frac{\sin \theta}{v}=C\]

因为

\[\sin \theta = \cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\phi}}= \frac{1}{\sqrt{1+y'^2}}\]

\[\frac12mv^2 = mgy \Rightarrow v = \sqrt{2gy}\]

所以

\[ \begin{aligned} \frac{\sin \theta}{v} = \frac{1}{\sqrt{1+y'^2}}\frac{1}{\sqrt{2gy}} &= C\\ \Rightarrow y' &= \sqrt{\frac{1-2gCy}{2gCy}}\triangleq\sqrt{\frac{C_2-y}{y}}\\ \Rightarrow \sqrt{\frac{y}{C_2-y}}dy &= dx\\ \text{令}y=C_2\sin^2\beta&\text{，有}\\ 2C_2\sin^2\beta d\beta &= dx\\ \Rightarrow dx &= C_2(1-cos2\beta)d\beta \\ \end{aligned} \]

所以

\[ \begin{cases} x &= R(\gamma-\sin\gamma)\\ y &= R(1-\cos\gamma) \end{cases} \]

或者

\[ x=R\arccos\left(1-\frac{y}{R}\right)-\sqrt{y(2R-y)} \]

摆线

实际上，最速降线就是摆线。

变分法

求出最速降线的严格做法——变分法。

变分法是研究泛函的极值的方法

可用 Euler-Lagrange 方程求解。