16 传染病模型

约 1513 个字 预计阅读时间 8 分钟

传染病的基本概念

传染病得以在某一人群中发生和传播，必须具备传染源、传播途径和易感人群三个基本环节

基本模型

SIR模型

假设疾病传播期内所考察地区总人数保持不变，没有新增人口和因疾病以外的原因造成的死亡。

我们将人群分为三类：

• 易感者（Susceptible）：未得病者，但缺乏免疫力，与感染者接触后会被感染
• 感染者（Infectious）：已经感染病原体的人，可以传播疾病
• 移出者（Removed）：不会再感染疾病，也不会再传播疾病，可能是因为死亡或者获得了免疫力或者被隔离

记 \(t\) 时刻易感者、感染者、移出者的人数分别为 \(S(t)\)、\(I(t)\)、\(R(t)\)

接触和移出

• 接触率：记为 \(\beta\)，表示单位时间内一个感染者与易感者接触的人数
• 移出率：记为 \(\alpha\)，表示单位时间内一个感染者被移出的人数

单位时间内每人与 \(\beta N\) 个人接触，其中 \(N\) 为总人数，易感者占比为 \(\frac{S(t)}{N}\)，所以单位时间内一个感染者接触的易感者人数为 \(\beta N \frac{S(t)}{N}=\beta S(t)\)，单位时间内新增感染者数量为 \(\beta S(t)I(t)\)。

单位时间内移出感染者数量为 \(\alpha I(t)\)

此时每个感染者处于感染期的时间服从参数为 \(\alpha\) 的指数分布，那么单位时间内移出感染者数量为 \(\alpha I(t)\)，我们有

• \(P(X\leq t)=1-e^{-\alpha t}\)，\(E(X)=\frac{1}{\alpha}\)
• 感染者经过长度至多为 \(t\) 的感染期后被移出的概率为 \(P(X\leq t)=1-e^{-\alpha t}\)
• 若不计新增感染者，\(\frac{I(t)}{I(0)}=e^{-\alpha t}\)
• 若不计新增感染者，\(\frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}=-\alpha I(t)\)

所以我们可以得到微分方程组

\[\begin{cases} \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=-\beta SI\\ \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=\beta SI-\alpha I\\ \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}=\alpha I \end{cases}\]

其中，\(\beta\) 和 \(\alpha\) 为常数，\(S(0)=S_0\)，\(I(0)=I_0\)，\(R(0)=R_0\)，\(S_0+I_0+R_0=N\)

我们考察 \(S\) 和 \(I\) 的关系，有

\[\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S}=\frac{\beta S-\alpha}{-\beta S}=\frac{1}{\frac{\alpha}{\beta}S}-1\triangleq \frac{1}{\sigma S}-1\]

其中，\(\sigma=\frac{\beta}{\alpha}\)

可以解得

\[I(t)=S_0+I_0-S(t)+\frac{1}{\sigma}\ln\frac{S(t)}{S_0}\]

我们可以得到如下图像：

其中，横坐标为 \(S\)，纵坐标为 \(I\)。斜线上的点为 \(S_0\) 和 \(I_0\)，是初始点。上图所述的先增后减，实际上可以理解为疫情的爆发和衰退。

\(I\) 总会衰减到0吗？

因为 \(S(t)\geq 0,\frac{dS}{dt}\leq0\)，所以 \(S(t)\) 单调递减有下界，\(\lim\limits_{t\to\infty}S(t)\)存在，记为 \(S_\infty\)。

因为 \(R(t)\leq N,\frac{dR}{dt}\geq0\)，所以 \(R(t)\) 单调递增有上界，\(\lim\limits_{t\to\infty}R(t)\)存在，记为 \(R_\infty\)。

因为 \(I(t)=N-S(t)-R(t)\)，所以 \(\lim\limits_{t\to\infty}I(t)=N-S_\infty-R_\infty=I_\infty\)存在。

若 \(I_\infty=\epsilon >0\) ，则对充分大的 \(t\)，\(\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}=\alpha I(t)\geq \alpha \epsilon\)，所以 \(R(t)\geq \alpha \epsilon t\)，\(\lim\limits_{t\to\infty}R(t)=\infty\)，矛盾。

所以 \(I_\infty=0\)，即 \(I(t)\) 会衰减到0。

但是，\(I(t)\) 会衰减到0，不代表一定是好事，可能是因为所有人都痊愈了，也可能是因为所有人都寄了。

估计 \(\sigma\)

由该图可知，\(S_\infty\) 即为 \(S_0+I_0-S(t)+\frac{1}{\sigma}\ln\frac{S(t)}{S_0}=0\) 的根

我们可以用 \(\sigma \approx \frac{\ln S_0 - \ln S_\infty}{S_0-S_\infty}\) 来估计 \(\sigma\)。

\(I(t)\) 的增减性

\[\begin{cases} \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=-\beta SI\\ \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=\beta (S-\sigma )I\\ \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}=\alpha I \end{cases}\]

若 \(S_0 > \frac{1}{\sigma}\)

• \(\frac{1}{\sigma}<S(t)<S_0\)，\(\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}>0\)，\(I(t)\) 单调递增
• \(S(t)=\frac{1}{\sigma}\)，\(\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=0\)，\(I(t)\) 达到最大值 \(S_0+I_0-\frac{1}{\sigma}(1+\ln\sigma S_0)\)
• \(S(t)<\frac{1}{\sigma}\)，\(\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}<0\)，\(I(t)\) 单调递减至0

若 \(S_0 \leq \frac{1}{\sigma}\)，\(I(t)\) 单调递减至0，传染病不会爆发。

基本再生数

将上述增减性的分析应用过来，记 \(\mathcal{R}_0=S_0\sigma\)，则前文分析情况就对应 \(\mathcal{R}_0>1\) 和 \(\mathcal{R}_0\leq 1\)。

\[\mathcal{R}_0=S_0\sigma=S_0\frac{\beta}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}\cdot \beta N \cdot \frac{S_0}{N}\]

• \(\frac{1}{\alpha}\)：每个感染者感染时间的期望值
• \(\beta N\)：单位时间内一个感染者接触的人数
• \(\frac{S_0}{N}\)：易感者占总人数的比例

所以这个式子表示每个感染者在感染期内感染的易感者平均数。

我们称 \(\mathcal{R}_0\) 为基本再生数。

SIS模型

假设疾病传播期内所考察地区总人数保持不变，没有新增人口和因疾病以外的原因造成的死亡。

我们将人群分为两类：

• 易感者（Susceptible）：未得病者，但缺乏免疫力，与感染者接触后会被感染
• 感染者（Infectious）：已经感染病原体的人，可以传播疾病

假设单位时间内每人与 \(\beta N\) 个人接触，并使其中的易感者受到感染。单位时间内 \(\gamma I(t)\) 个感染者被治愈，重新成为易感者。

其中，\(\beta\) 和 \(\gamma\) 为常数，\(S(0)=S_0\)，\(I(0)=I_0\)，\(S_0+I_0=N\)

我们给出微分方程组

\[\begin{cases} \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=-\beta SI+\gamma I\\ \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=\beta SI-\gamma I \end{cases}\]

所以

\[\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=\beta (N-I)I-\gamma I=(\beta N-\gamma-\beta I)I=(\beta N-\gamma)I(1-\frac{\beta}{\beta N-\gamma}I)\]

感觉是不是和 Logistic 模型很像？

Logistic 模型

\[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=rx\left(1-\frac{x}{K}\right)\]

• 若 \(\beta N-\gamma>0\)，\(\forall I_0\in (0,N)\)，\(I(t)\) 单调递增趋向于 \(N-\frac{\gamma}{\beta}\)
• 若 \(\beta N-\gamma<0\)，\(\forall I_0\in (0,N)\)，\(I(t)\) 单调递减趋向于 \(0\)

记 \(\mathcal{R}_0=\frac{\beta}{\gamma}N\)，即当 \(\mathcal{R}_0>1\) 时，\(I(t)\) 单调递增趋向于 \(N-\frac{\gamma}{\beta}\)，当 \(\mathcal{R}_0<1\) 时，\(I(t)\) 单调递减趋向于 \(0\)。

平衡点

自治系统有两个可能平衡点 \(P_1=(N,0)\) 和 \(P_2=(\frac{\gamma}{\beta},N-\frac{\gamma}{\beta})\)

• 当 \(\mathcal{R}_0>1\) 时，\((S(t),I(t))\) 趋向于 \(P_1\)，人群中不再有感染者
• 当 \(\mathcal{R}_0<1\) 时，\((S(t),I(t))\) 趋向于 \(P_2\)，传染病成为地方性疾病

防控传染病对策

• 减少人群接触，减小 \(\beta\) 值
• 提高治疗水平，使感染者尽早治愈，即增大 \(\gamma\)值
• 在存在移出者 (SIR) 情况下，通过预防免疫办法提高初始移出者 \(R_{0}\) 至 \(N-\frac{\alpha}{\beta}\)

为什么是 \(N-\frac{\alpha}{\beta}\)

因为 \(\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=(\beta S-\alpha) I\)，所以我们让未被感染的人群 \(S<\frac{\alpha}{\beta}\)，这样就可以让 \(\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}<0\)，即 \(I\) 单调递减，疾病不会爆发。

Ross疟疾传播模型

其实还是 SIS 模型。

疟疾只会在人类和蚊子，或者蚊子和蚊子之间传播，我们做出如下假设：

• 某区域在一段时间内人的数量 \(H\) 与（雌性）蚊子的数量 \(V\) 保持不变
• 记 \(t\) 时刻人群中易感者和感染者数量分别为 \(S_h(t)\) 和 \(I_h(t)\)，蚊子中易感者和感染者数量分别为 \(S_v(t)\) 和 \(I_v(t)\)
• 单位时间内每只蚊子会叮咬 \(a\) 个（不同的）人，每个人被 \(\tilde{a}\) 只（不同的）蚊子叮咬，\(aV=\tilde{a}H\)
• 发生叮咬时，从已感染疟疾的人传染给未感染疟疾的蚊子的概率为 \(b_h\)，从已感染疟疾的蚊子传染给未感染疟疾的人的概率为 \(b_v\)
• 单位时间内，有数量为 \(\gamma_h I_h(t)\) 的已感染疟疾的人康复，数量为 \(\gamma_v I_v(t)\) 的已感染疟疾的蚊子康复

通过分析，我们可以得到下图：

可以得到微分方程组

\[ \begin{cases}\frac{dS_h}{dt}=-ab_h\frac{S_hI_v}H+\gamma_hI_h\\\frac{dI_h}{dt}=ab_h\frac{S_hI_v}H-\gamma_hI_h\\\frac{dS_v}{dt}=-ab_v\frac{S_v I_h}H+\gamma_v I_v\\\frac{dI_v}{dt}=ab_v\frac{S_v I_h}H-\gamma_v I_v&\end{cases} \]

记

\[\begin{aligned}x(t)&=\frac{I_h(t)}H=1-\frac{S_h(t)}H\\y(t)&=\frac{I_v(t)}V=1-\frac{S_v(t)}V\\m&=\frac{V}{H}\end{aligned}\]

则有

\[ \begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=ab_h(1-x)my-\gamma_hx\\\dfrac{dy}{dt}=ab_v x(1-y)-\gamma_v y\end{cases} \]

平衡点

令 \(\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}=0\)，则可以解得平衡点

\[(0,0),\left(\frac{a^2mb_hb_v-\gamma_h\gamma_v}{ab_v(amb_h+\gamma_h)},\frac{a^2mb_hb_v-\gamma_h\gamma_v}{amb_h(ab_v+\gamma_v)}\right)\]

因为分子决定了平衡点的存在性，我们定义

\[\mathcal{R}_0=\frac{a^2mb_hb_v}{\gamma_h\gamma_v}=\frac{ab_v}{\gamma_h}\cdot \frac{amb_h}{\gamma_h}\]

• 当 \(\mathcal{R}_0>1\) 时，平衡点 \((0,0)\) 不稳定，平衡点 \(\left(\frac{a^2mb_hb_v-\gamma_h\gamma_v}{ab_v(amb_h+\gamma_h)},\frac{a^2mb_hb_v-\gamma_h\gamma_v}{amb_h(ab_v+\gamma_v)}\right)\) 稳定，疟疾会爆发