22 多目标规划¶
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多目标规划的概念¶
多目标规划研究变量在满足给定约束条件下，多个可数值化的目标函数同时极小化的问题：
多目标规划解的类型¶
绝对最优解 \(S_a\)：在所有可行解中，同时使所有目标函数取得最小值的解
- 对任意 \(\mathbf{x}\in S\) ，有 \(f_i(\mathbf{x}^*)\geq f_i(\mathbf{x}),i=1,2,\cdots,p\)
Pareto最优解（有效解/非劣解）\(S_p\)：
- 不存在 \(\mathbf{x}\in S\) ，使得所有 \(f_i(\mathbf{x})\leq f_i(\mathbf{x}^*),i=1,2,\cdots,p\) ，且至少有一个 \(f_i(\mathbf{x})<f_i(\mathbf{x}^*)\)（非严格不等号）
弱Pareto最优解 \(S_{wp}\)：
- 不存在 \(\mathbf{x}\in S\) ，使得所有 \(f_i(\mathbf{x})< f_i(\mathbf{x}^*),i=1,2,\cdots,p\) （非严格不等号）
解的关系¶
\(S_a\) 与 \(S_{wp}\) 之间的关系
\(S_a\) 与 \(S_{wp}\) 之间的关系（横坐标为 \(x\)，纵坐标红线为 \(f_1\)，蓝线为 \(f_2\)）：
我们通常将其画为（纵坐标为 \(f_1\)，横坐标为 \(f_2\)）：
其中，左下角的交点为 \(S_a\) ，绿线为 \(S_{wp}\)
\(S_{wp}\) 与 \(S_p\) 之间的关系
\(S_{wp}\) 与 \(S_p\) 之间的关系（横坐标为 \(x\)，纵坐标红线为 \(f_1\)，蓝线为 \(f_2\)）：
我们通常将其画为（纵坐标为 \(f_1\)，横坐标为 \(f_2\)）：
其中，红线为 \(S_{p}\) ，绿线为 \(S_{wp}\)
可以证明 \(S_a\subseteq S_{wp}\subseteq S_p\subseteq S\)
证明
-
若 \(\mathbf{x}^*\in S_a\)，但 \(\mathbf{x}^*\notin S_p\)，则存在 \(\overline{\mathbf{x}}\in S\) 和某个\(k\)，使得\(f_k(\overline{\mathbf{x}})<f_k(\mathbf{x}^*)，f_l(\overline{\mathbf{x}})\leq f_l(\mathbf{x}^*)，l\neq k\)，与\(\mathbf{x}^*\in S_a\)矛盾
-
若 \(\mathbf{x}^*\in S_p\)，但 \(\mathbf{x}^*\notin S_{wp}\)，则存在 \(\overline{\mathbf{x}}\in S\)，使得\(f_k(\overline{\mathbf{x}})<f_k(\mathbf{x}^*),k=1,\cdots,p\)，与 \(\mathbf{x}^*\in S_p\)矛盾。
若 \(S_a=S_{wp}\) ，则称 \(S_a\) 为Pareto最优解，此时 \(S_a=S_{wp}=S_p\)
多目标规划的求解¶
线性加权和法¶
主要目标法¶
理想点法¶
对任意\(k\)，取\(f_k^0\leq\min_{z\in S}f_k(\mathbf{x})\)，\(\lambda \in\Lambda=\{\lambda\mid \lambda \geq{0},\sum\limits_{k-1}^p \lambda _ k =1\}\)，求解单目标规划 \(\quad\left(P_{i}(\alpha)\right)\min\limits_{\mathbf{x}\in S}\left(\sum\limits_{k=1}^{p}\lambda_{k}\left(f_{k}(\mathbf{x})-f_{k}^{0}\right)^{\alpha}\right)^{\frac1\alpha}\)
在实际情况下，我们可以将 \(\lambda\) 取为 \(1\)，\(\alpha\) 取为 \(2\)
- 对任意 \(\alpha\geq1，P_{\lambda}(\alpha)\) 的最优解为弱Pareto最优解
- 若\(\lambda_k \equiv \frac1p\)，对任意 \(\alpha\geq1\)，\(P_{\lambda}(\alpha)\) 的最优解为Pareto最优解
分层排序法¶
例子：投资组合¶
采用主要目标法
简略版
