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Chapter 1 概率论的基本概念

约 1156 个字 预计阅读时间 6 分钟

样本空间与随机事件

随机试验(random experiment)的特点:

  1. 可以复现;
  2. 每次试验的结果不定,但事先可以知道试验的所有可能结果;

而随机试验的所有可能结果构成的集合为样本空间(sample space),记为\(S\),其中的每一个元素为样本点(sample point)
而样本空间的任一子集成为随机事件(random event),简称事件。

  • 特别的,只含有一个样本的子集称为基本事件

事件的相互关系

从左到右分别:
包含 | 和事件 | 积事件 | 逆事件 | 差事件

  • 两互逆事件又称对立事件
  • \(AB=\varnothing\),则称两事件不相容(或互斥
  • \(A\subset B \;and\;B\subset A\),则称两事件相等

其中,和、交、逆事件有如下运算规律:

  • 交换律:\(A\cup B=B\cup A\;,\;A\cap B=B\cap A\)
  • 结合律:\(A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C\;,\;A(BC)=(AB)C\)
  • 分配律:\(A(B\cup C)=(AB)\cup(AC)\;,\;(AB)\cup C=(A\cup C)(B\cup C)\)
  • 对偶律 / 德摩根定律(De Morgan's law):\(\overline{\bigcup\limits^n_{j=1}A_j}=\bigcap\limits^n_{j=1}\overline{A_j}\;,\;\overline{\bigcap\limits^n_{j=1}A_j}=\bigcup\limits^n_{j=1}\overline{A_j}\)

串联系统与并联系统:

  • 串联系统:\(A=\bigcap\limits_{i=1}^nA_i\)
  • 并联系统:\(A=\bigcup\limits_{i=1}^nA_i\)

频率与概率

频率 = 频数 / 试验总次数

若样本空间\(S\)中的任一事件\(A\)定义概率\(P(A)\)满足以下三条公理:

  1. 非负性\(P(A)\geq0\)
  2. 规范性 / 正则性\(P(S)=1\)
  3. 可列可加性:对于\(S\)中不相容的事件\(A_i\),有\(P(\bigcup\limits^{+\infty}_{j=1}A_j)=\sum\limits_{j=1}^{+\infty}P(A_j)\)

由此得到如下几条概率的性质

  1. 对于有限个两两不相容的事件的和事件,有 \(P(\bigcup\limits^n_{j=1}A_j)=\sum\limits_{j=1}^nP(A_j)\)
  2. \(P(A)=1-P(\overline A)\);特别的,可以得到\(P(\varnothing)=0\)
  3. \(A\supset B\)时,\(P(A-B) = P(A)-P(B)\)\(P(A)\geq P(B)\)
  4. 概率的加法公式\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\);推广即容斥原理;
  5. 加法公式的推论:\(P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)\)

等可能概型

如果随机事件满足:

  1. \(S\)中样本点数有限;
  2. \(\forall i,j \in\{1,2,...,n\},\;P(e_i) = P(e_j)\),即等可能;

则该试验问题为等可能概型古典概型
有如下性质:若总事件个数为 \(N\)\(A\)\(n\) 个基本事件的和事件,则 \(P(A)=\frac{n}{N}\)


条件概率

如果\(P(B)>0\),那么定义\(B\)发生的条件下\(A\)发生的条件概率(contidional probability)为:
\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)

条件概率是在新的样本空间下的概率度量,它满足概率的定义和性质。

定义完备事件组\(S\)的一个划分\(B_1,B_2,...,B_n\),它满足如下性质:

  1. \(B_iB_j=\varnothing,i,j,...,n,i\not=j\)
  2. \(\bigcup\limits^n_{i=1}B_i=S\)


\(S\)为一样本空间,\(A\)为该试验的事件,\(\{B_i\}\)\(S\)的一个划分,则有:

  • \(A_1,...,A_n,...\)互不相容,则\(P(\cup_{n=1}^{\infty}A_n|B)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}P(A_n|B)\)
  • 乘法公式:当\(P(A)\not=0\;\,\;P(B)\not=0\)时,有\(P(AB)=P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)\)
  • 全概率公式\(P(A)=\sum\limits_{j=1}^nP(B_j)P(A|B_j)\)
  • 贝叶斯公式\(P(B_k|A)=\frac{P(B_kA)}{P(A)}=\frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\sum\limits_{j=1}^nP(B_j)P(A|B_j)}\)
    • 其中,我们称\(P(B_j)\)这种事先知道的概率为先验概率
    • \(P(B_j|A)\)这种,当事件\(A\)发生后需要修正 \(B_j\) 的概率成为后验概率
    • 我们称\(P(A|B_j)\)似然概率

事件独立性与独立试验

\(A,B\)为两个随机事件,若有\(P(AB)=P(A)*P(B)\),则\(A,B\)相互独立(independent)
其实际意义是,事件\(A\)的发生与事件\(B\)的发生互不影响。
那么就有结论:\(while\;\;P(AB)=P(A)*P(B)\;\;,\;\;P(A|B)=P(A)\)
当出现两个以上的随机事件时,如三个随机事件\(A,B,C\),当:
\(P(AB)=P(A)*P(B)\;,\;P(AC)=P(A)*P(C)\;,\;P(BC)=P(B)*P(C)\) 都成立,则称事件\(A,B,C\)两两独立
如果同时还满足:
\(P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\) 则称事件\(A,B,C\)相互独立

  • 显然有:相互独立 \(\Rightarrow\) 两两独立

更普遍的:
定义\(\{A_i\}\)相互独立当且仅当\(\forall{i_j},\;P(\prod_{j=1}^k A_{i_j})=\prod_{j=1}^kP(A_{i_j})\)


独立试验与重复试验:

  • 独立试验各个试验结果互不影响;
  • 重复试验的每一次子试验都在相同情况下进行;