Lossy Compression Algorithms¶
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Distortion Measures¶
用于衡量近似结果与原始数据之间的接近程度。通常人们会想到数值上的差异，但在处理图像数据时，简单的数值差异可能无法反映预期的效果。因此，需要采用感知失真度量，即从人类感知的角度来衡量失真程度，以更准确地评估图像质量或差异。
均方误差（MSE, Mean Square Error）¶
- 定义：MSE 是原始信号与近似信号之间像素差异的平均值，用于衡量整体失真程度。
- 公式：
[
\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} (x_n - y_n)^2
]
其中：
- \(x_n\)：原始信号的第 \(n\) 个像素值。
- \(y_n\)：近似信号的第 \(n\) 个像素值。
- \(N\)：总像素数。
- 含义：MSE 越小，表示失真越小，图像质量越高。
信噪比（SNR, Signal-to-Noise Ratio）¶
- 定义：SNR 是信号与噪声的比值，用于衡量信号相对于噪声的强度。
- 公式：
[
\text{SNR} = 10 \log_{10} \frac{\sigma_x2}{\sigma_d2}
]
其中：
- \(\sigma_x^2\)：原始信号的方差（表示信号的强度）。
- \(\sigma_d^2\)：误差的方差（表示噪声的强度）。
- 含义：SNR 越大，表示信号相对于噪声的强度越高，失真越小。
峰值信噪比（PSNR, Peak Signal-to-Noise Ratio）¶
- 定义：PSNR 是信号峰值与噪声的比值，用于衡量失真相对于信号峰值的大小。
- 公式：
[
\text{PSNR} = 10 \log_{10} \frac{x_{\text{peak}}2}{\sigma_d2}
]
其中：
- \(x_{\text{peak}}\)：信号的最大可能值（例如，对于 8 位图像，\(x_{\text{peak}} = 255\)）。
- \(\sigma_d^2\)：误差的方差（表示噪声的强度）。
- 含义：PSNR 越大，表示失真相对于信号峰值越小，图像质量越高。
The Rate-Distortion Theory¶
有损压缩始终涉及速率与失真之间的权衡：
- 速率：表示每个源符号所需的平均比特数；
-
R(D)：即速率-失真函数。
-
R(D) 定义了在失真不超过 D 的情况下，源数据能够被编码的最低速率；
- 当 D=0 时，即无失真情况下，R(D) 等于源数据的熵；
- R(D) 描述了编码算法性能的基本限制；
- 可用于评估不同算法的性能表现。
- 当 D=0 时，源数据的熵等于 R(D)
-
D=0 表示无失真压缩，此时 R(D) 等于源数据的熵。这是因为在无失真情况下，压缩的最低速率由源数据的信息量（即熵）决定。
-
R(D)=0，表示没有编码
-
当 R(D)=0 时，意味着没有对源数据进行编码。这种情况通常发生在失真非常大（即允许的失真无限大）时，不需要传输任何信息。
-
对于给定源，找到率失真函数的闭式解析描述非常困难
- 率失真函数 R(D) 描述了在失真上限为 D 时，源数据可以被编码的最低速率。然而，对于大多数实际源数据，很难找到一个闭式（即数学上精确的）解析表达式来描述 R(D)。这通常需要复杂的数学分析和近似方法。
Quantization¶
- 量化的核心地位
- 量化是任何有损压缩方案的核心组成部分。
-
如果没有量化，几乎不会丢失信息，因为量化是减少数据精度的主要手段。
-
量化的作用
- 通过量化，减少数据中不同值的数量，从而降低数据量。
- 量化是 有损压缩 中“损失”的主要来源，因为它通过舍弃部分信息来实现压缩。
每个量化器都有其独特的输入范围划分和输出值集合。根据输入和输出的维度，量化器可以分为以下两类：
- 标量量化器（Scalar Quantizer）
- 对单个输入值进行量化。
-
根据量化间隔的均匀性，可分为：
- 均匀量化（Uniform Quantizer）：量化间隔相等，适用于输入值分布均匀的情况。
- 非均匀量化（Nonuniform Quantizer）：量化间隔不等，适用于输入值分布不均匀的情况。
-
矢量量化器（Vector Quantizer）
- 对一组输入值（即矢量）进行联合量化。
- 通过将多个输入值作为一个整体处理，能够更好地捕捉数据之间的相关性，从而提高压缩效率。
均匀标量量化器的定义¶
- 输入域的划分
- 将输入域划分为 等间距 的区间。
-
决策边界（Decision Boundaries）：每个区间的端点，用于决定输入值属于哪个区间。
-
输出值
-
每个区间的 中点 作为该区间的输出值。
-
步长（Step Size）
- 每个区间的长度，即步长，决定了量化的精度。
均匀标量量化器的两种类型¶
- Midrise 量化器
- 具有 偶数个 输出级别。
- 其中一个区间围绕 零 值（即零值位于一个区间的中间）。
-
零值 不是 输出值之一。
-
Midtread 量化器
- 具有 奇数个 输出级别。
- 零值 是其中一个输出值。
成功的均匀量化器的目标¶
- 在给定输入源和期望输出值数量的情况下，最小化失真。
- 失真通常通过量化误差（即输入值与输出值之间的差异）来衡量。
Transform Coding¶
- 矢量编码比标量编码更高效
-
将输入数据中的连续样本分组为矢量进行编码，可以更有效地利用数据之间的相关性，从而提高压缩效率。
-
矢量 X 的定义
- 设 X = {x₁, x₂, ..., xₖ} 为样本矢量，其中相邻样本之间通常存在一定的相关性。
- 线性变换 T 的定义
- 设 Y 是输入矢量 X 经过线性变换 T 后的结果，即 Y = T(X)。
-
变换后的 Y 的分量之间的相关性大大降低。
-
编码效率的提升
-
由于 Y 的分量之间相关性减少，Y 可以比 X 更高效地编码。
-
变换本身不压缩数据
- 变换 T 本身并不会压缩数据，压缩是通过对 Y 的分量进行处理和量化实现的。
- DCT 的广泛应用
-
DCT 是一种广泛使用的线性变换，能够有效去除输入信号的相关性。
-
DCT 的作用
- DCT 将输入信号转换为频域表示，使得信号的能量集中在少数低频分量中，从而为后续的量化与编码提供更高效的基础。
DCT | Discrete Cosine Transform¶
长度为 8 的一维 DCT 变换公式如下：
变换后只跟第一个坐标轴有关系，减少了分量之间的相关性。
例子：
就是坐标轴上的投影。
同时，DCT 变换是线性的。
原始信号就是基信号加权结果。
2D DCT¶
在JPEG中，使用的是8x8的DCT变换。
二维的DCT变换，就是对每一行进行一维的DCT变换，然后对每一列进行一维的DCT变换。
DFT | Discrete Fourier Transform¶
离散余弦变换（DCT）是仅保留离散傅里叶变换（DFT）实部运算的变换形式。
DCT通过构造对称信号消除DFT虚部的关键技术在于：对原始8点采样信号进行镜像对称复制，构造16点扩展序列。如图8.10所示，DCT运算本质上等效于对对称扩展信号实施DFT后保留实部运算。
Wavelet-Based Coding¶
DFT和DCT在频域上有高分辨率，但是在时域上分辨率缺失。而小波变换在时域和频域上都有高分辨率。
对于\(\{x_{n,i}\}=\{10,13,25,26,29,21,7,15\}\)，进行小波变换后得到
对二维图像进行小波变换，就是对每一行进行小波变换，然后对每一列进行小波变换。
人眼对于低频部分的敏感度更高，所以可以通过小波变换，将高频部分进行压缩（就是对左上角的部分进行压缩）。